Использование метода математического моделирования при обучения математике в 8-9 классах 

Автор: Курышев Валентин Владимирович

ГБОУ Школа № 525, Санкт-Петербург

 

В Концепции развития математического образования в Российской Федерации указывается, что «изучение и преподавание математики, с одной стороны, обеспечивают готовность учащихся к применению математики в других областях, с другой стороны, имеют системообразующую функцию, существенно влияют на интеллектуальную готовность школьников и студентов к обучению, а также на содержание и преподавание других предметов» [1, с. 4].

Прикладную направленность школьного курса математики H.A. Терешин рассматривает «с точки зрения двух важнейших взаимосвязанных, но вполне самостоятельных функций, которые она может реализовать: мировоззренческой и социально-педагогической» [2, с. 3]. Мировоззренческая функция реализуется: (1) при использовании математики; (2) в других школьных предметах, позволяя сформировать у учащихся устойчивое понимание, что математика – универсальный язык всех наук.  Прикладную направленность математики автор [2] понимает как содержательную и методологическую связь школьного курса с практикой, что предполагает формирование у учащихся умений, необходимых для решения средствами математики практических задач.

Прикладная направленность школьного курса математики также рассматривается некоторыми авторами как средство повышения качества математического образования учащихся, применения их математических знаний к решению задач повседневной практики и в дальнейшей профессиональной деятельности [3].

В методической литературе не сложилось четкого единообразного определения понятию прикладной задачи. 

Ю.М. Колягин и В.А. Оганесян подчеркивают особенность прикладной задачи, заключающуюся в том, что «в ходе ее решения приходится переходить от реальной ситуации к ее математическому описанию, или, другими словами, строить ее математическую модель» [4, с. 57]. 

Под задачей с прикладным содержа­нием (прикладной задачей) H.A. Терешин [2, с. 7], М.В. Егупова понимают задачу, поставленную вне математики и решаемую математическими средствами. Так как в основе их решения лежит математическое моделирование, то для реализации прикладной направленности необходимо организовать обучение школьников элементам моделирования, которыми, с дидактической точки зрения, являются учебные действия, выполняемые в процессе решения задач. 

Процесс математического моделирования состоит из трех этапов [2]:

1) формализация, перевод предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, т.е. построение математической модели задачи;

2) решение задачи внутри модели;

3) интерпретация полученного решения, т.е. перевод полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача. 

В школе в основном ведется работа со вторым этапом математического моделирования, а этапы формализации и интерпретации раскрываются недостаточно. Это обусловлено тем, что все данные в сюжетных и особенно в математических задачах уже переведены на математический язык, поэтому в формализации нет необходимости, а интерпретация затрагивается лишь косвенно. Е.В. Разумовская замечает, что при сдаче Единого государственного экзамена выполнение задания, проверяющего умение проводить расчёты по формулам, оказалось слабым. При этом ошибка была «связана не с элементом содержания, а с отбором нужного корня из двух корней квадратного уравнения. В ответе приводился больший корень, ошибочно отнесенный к наибольшему времени, хотя физическая модель задачи предполагала наличие только одного корня – наименьшего» [5, c. 18]. Всё это указывает на то, что этапу интерпретации решения задачи уделяется недостаточное количество времени. Такая «однобокость» не способствует формированию у обучающихся правильного представления  о математическом моделировании.

Академик А.Н. Тихонов  подчеркивает, что «во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. При решении школьных задач по физике вы выступаете одновременно как физики и математики» [6, с. 13]. 

Для устранения «однобокости» при обучении методу математического моделирования необходима такая организация обучения элементам моделирования, при которой будут затронуты в равной степени все три этапа моделирования.

Для организации такого обучения целесообразно, на наш взгляд, использовать задачи-проблемы – это чаще всего сюжетные задачи, возникающие на практике, но не содержащие «достаточных для ее решения числовых данных» [2, с. 6].  

В качестве примера такой задачи рассмотрим следующую: «Найдите, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим» [7]. Для построения математической модели такой задачи требуется дополнительно «найти» недостающее количество данных.  

Заметим, что школьные учебники почти не содержат таких задач-проблем, поскольку на их решение необходимо затратить больше времени, чем это позволяет школьная программа.

Решение прикладных задач требует достаточно много учебного времени. Из-за этого на уроке не удается уделять должного внимания на решение сложных прикладных задач (тех же самых задач-проблем). Поэтому использование метода проектов во внеурочное время является мощным средством усиления прикладной направленности обучения математике.

Метод проектов делает учебный процесс более увлекательным и интересным, раскрывает значение получаемых в школе знаний и их прикладную значимость. Таким образом, создается условие для снижения учебной нагрузки школьников.

Работа по формированию прикладных умений в процессе решения прикладных задач станет более эффективной в том случае, если приблизить их формулировки к реальным ситуациям, т. е. предлагать не «готовую задачу», а проблемную ситуацию (задачу-проблему), для разрешения которой необходимо на основе ее анализа сформулировать соответствующую задачу[8].

Учащимся 9 класса, интересующимся физикой (и знакомым с описанными в задачах проекта физическими явлениями), можно предложить групповой проект, связанный с прикладными задачами-проблемами. Выбор класса обусловлен тем, что от учащихся, участвующих в данном проекте, потребуется  иметь представление о решении квадратных уравнений с параметрами.

Первая задача – простая задача из курса физики за 9 класс.

Задача 1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/сек. Какова скорость тела через 4 сек? Какое перемещение совершит тело и какова длина пути, пройденного телом за это время?

Решение. Так как в данной задаче даны все числовые данные, то первый этап – перевод условий задачи на математический язык – пропускается.

Этап 2. Скорость тела вычисляется по формуле.

 К исходу четвертой секунды (м/сек.)

Знак «–» означает, что скорость направлена против координатной оси, направленной вверх, то есть в конце четвертой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъема.   

Величину перемещения тела найдем по формуле, откуда . 

Это перемещение отсчитывается от того места, откуда тело было брошено. Но в этот момент тело уже двигалось вниз. Поэтому длина пройденного телом пути l равна максимальной высоте подъема плюс расстояние, на которое оно успело опуститься вниз.

Значение вычислим по формуле. 

Отсюда. Подставив значения h = 20 м, получаем ответ.

Этап 3. В конце четвертой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъема. Длина пути, пройденного телом за 4 с, равна 42,5 м. 

Ответ: 42,5 м.

Вторая задача не имеет конкретных числовых данных, в ней даны лишь количественные отношения, тем самым данная задача подводит учеников к главной задаче в этом проекте.

Задача 2. Два тела брошены вертикально вверх с различными начальными скоростями. Одно из них достигло вчетверо большей высоты, чем другое. Во сколько раз его начальная скорость была больше начальной скорости другого тела?

Решение. Этап 1. Переходим к математической задаче. Пусть скорость первого тела будет v1, время – t1, а достигнутая высота – h1. У второго тела соответственно v2, t2, h2. Согласно формуле максимальной высоты можно выразить достигнутую высоту каждого из тел

Этап 2. По условию, одно из тел достигло высоты в четыре раза большей, чем другое, то есть h1 = 4h2.  Подставляем это значение в первое равенство формулы (4) и вычтем из него второе равенство (4), умноженное на 4, получим ответ.

Этап 3. Интерпретируя полученное решение математической задачи, получаем ответ на вопрос задачи: начальная скорость одного тела в два раза больше скорости другого.

Ответ: в 2 раза. 

В качестве заключительной девятиклассникам предлагается задача, в которой не заданы никакие числовые данные, включая числовые зависимости.

Задача 3. Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Через сколько времени оно достигнет заданной высоты? [7]

Решение. Этап 1. Важно помнить, что на рассматриваемое физическое явление существенное влияние оказывает скорость, с которой выполняется бросание: чем выше скорость, тем большей высоты тело достигает.

Переход к математической задаче осуществляется в том же ключе, как и решение любой алгебраической текстовой задачи. Обозначив через v0 м/с начальную скорость бросания тела, через h м – высоту, которую тело должно достигнуть, а через t с – время, через которое тело окажется на высоте h, и вспомнив, что движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным, высоту h можно найти по формуле (5), где g – ускорение свободного падения тела, м/с2. Если рассматривать формулу (5) как уравнение, то это уравнение будет являться математической моделью рассматриваемой физической задачи.

Этап 2 сводится к решению математической задачи, в данном случае к решению уравнения (5) относительно t.

Перепишем уравнение в виде: gt2 - 2v0t + 2h = 0. Дискриминант уравнения: D = v02 – 2gh.

Если v02 – 2gh<0, т.е. 0<v0<(2gh)1/2 (по смыслу задачи v0 >0), то уравнение (5) решений не имеет.

Если v02 – 2gh=0, т. е. v0=(2gh)1/2, то уравнение (5) имеет одно решение.

Если v02 – 2gh>0, т.е. v0>(2gh)1/2, то уравнение (5) имеет два различных корня.

Этап 3 заключается в интерпретации математического решения задачи, то есть в переводе решения уравнения (5) на язык исходной физической задачи.

При 0<v0<(2gh)1/2 отсутствие решения уравнения означает, что тело при указанных условиях (при такой начальной скорости) не достигнет высоты h.

При v0=(2gh)1/2 единственность решения уравнения равнозначна тому, что тело достигает высоты h через ... с.

При . v0>(2gh)1/2 решение математической задачи получает такое толкование: что тело окажется на высоте h дважды – поднимаясь вверх, через ... с, а на обратном пути, опускаясь вниз, через ... с.

 

Литература:

1. Концепция развития математического образования в Российской Федерации. Утверждена распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. №2506-р.

2. Терёшин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. 96 с.

3. Басалаева М.Ф. Прикладная направленность обучения математике. Методический журнал для учителя математики. Москва, 2005. 

4. Колягин Ю.М. Учись решать задачи. Пособие для учащихся VII-VIII кл. /  Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян. М.: Просвещение, 1980. 96 с. 

5. Разумовская Е.В. Методический анализ результатов ЕГЭ по математике в 2016 учебном году (профильный уровень) в Саратовской области // Современное математическое образование: концептуальные подходы и стратегические пути развития: материалы XII Межрегиональной научно-методической конференции / под ред.: Г. В. Дятлевой. Саратов: ГАУ ДПО «СОИРО», 2017. С. 16-19.

6. Тихонов А.Н. Вводные лекции по прикладной математике / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. М.: Наука, 1984. 192 с.

7. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1984. 96 с. 

8. Овезов А. Проектная деятельность школьников как средство усиления прикладной направленности обучения математике / А. Овезов, А. Каштанов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2011. №8. С. 143-148.